Analyse analytique du choix optimal
Syntaxe :
Soit 2 biens, x et y. La satisfaction est représentée par la fonction d'utilité, u(x,y).
Le consommateur cherche la quantité de x et la quantité de y qui maximisent sa satisfaction.
Mais, il y a des contraintes représentées par la contrainte budgétaire :
R = px+qy avec R : le revenu, p : le prix du bien x et q : le prix du bien y.
Syntaxe :
Le programme du consommateur s'écrit :
Max x,y u(x,y)
s.c. R = px+qy
x et y sont des variables endogènes (ce que l'on va chercher).
R, p et q sont des variables exogènes (ce qui est donné).
Plusieurs façons de résoudre ce problème de maximisation sous contrainte.
Syntaxe :
La solution du programme (x,y) est la solution du système à 2 équations :
p/q = umx(x,y)/umy(x,y) = TMS
R = px+qy
Avec umx(x,y), l'utilité marginale du bien x
et umy(x,y), l'utilité marginale du bien y.
Définition :
Les quantités de biens x(p,q,R) et y(p,q,R), solutions du programme du consommateur, sont appelées fonctions de demande (« marshalliennes »).
Pour la détermination du choix du consommateur, et des fonctions de demande dans le cas de plus de deux biens, voir par exemple Etner, Jeleva (2014)
Exemple :
u(x,y) = x1/2 y1/2
R = 10, p=1, q=2
On peut calculer les utilités marginales :
umx(x,y) = 0,5 x-1/2 y1/2 et umy(x,y) = 0,5 x1/2 y-1/2
Le TMS vaut alors :
TMS = 0,5 x-1/2 y1/2 /0,5 x1/2 y-1/2 = y/x
La solution (x,y) est solution du système suivant :
p/q = 1/2= x/y
10 = x+2y
On trouve :
x = 2 et y = 4
