### L4-Variables aléatoires-Lois usuelles

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1. Parmi les noms suivants quels sont ceux qui ont contribué à la Théorie des erreurs entre 1750 et 1820

   1. R. Boscovich
   2. M.J.A.N. de Condorcet
   3. P.S. de Laplace
   4. C.F. Gauss
   5. A. Quetelet
   6. F. Galton

2. La Théorie mathématique des erreurs avait pour objet

   1. La réduction physique des erreurs de mesure par suppression de leurs causes
   2. La combinaison des observations en un juste milieu
   3. La recherche d'une estimation de la vraie valeur
   4. La considération de la loi de probabilité des erreurs
   5. Le calcul d'un intervalle de confiance
   6. L'élimination des erreurs de mesure

3. Propriétés d'une loi de variable discrète : cocher les réponses exactes

   1. Les valeurs possibles sont toujours en nombre fini
   2. Entre deux valeurs il existe un nombre fini de valeurs possibles
   3. Les valeurs possibles sont toujours des nombres entiers
   4. La somme des probabilités fait 1
   5. Les probabilités sont égales

4. Propriétés de la fonction de répartition d'une variable discrète. Cocher les réponses exactes

   1. Elle est toujours croissante
   2. Elle est toujours non décroissante
   3. Elle est continue
   4. Elle est toujours positive
   5. Elle est toujours inférieure à 1

5. Soit la variable X dont la loi est la suivante :
   Valeurs : 0 1 5 10
   Proba : 0,2 0,3 0,4 0,1
   Quelles sont son espérance et sa variance

   1. 3,5 - 20,3
   2. 3,3 - 20,3
   3. 3 - 17
   4. 3,3 - 9,41
   5. 5 - 9,3

6. X et Y sont deux variables d'espérance 3 et 5. Quelle est l'espérance de 2X + 3Y -4 ?

   1. 21
   2. 17
   3. 15
   4. Inconnue car on ne connait pas la covariance de X et Y

7. X et Y sont deux variables de variance 3 et 2. Quelle est la variance de 2X + 3Y -4 ?

   1. 8
   2. 30
   3. 24
   4. Inconnue car on ne connait pas la covariance de X et Y

8. X1 et X2 sont deux variables indépendantes de même loi :

   Valeurs : | 0 | 1 | 2
   Proba : | 0,2 | 0,3 | 0,5

   Quelle est la loi de X1 + X2 ?

   1. 0 | 1 | 2
      0,2 | 0,3 | 0,5

   2. 0 | 2 | 4
      0,2 | 0,3 | 0,5

   3. 0 | 2 | 4
      0,4 | 0,6 | 1

   4. Inconnue parce qu'on n'a pas la loi du couple

   5. 0 | 1 | 2 | 3 | 4
      0,04 | 0,12 | 0,29 | 0,30 | 0,25

   6. 0 | 1 | 2 | 3 | 4
      0,04 | 0,09 | 0,25 | 0,12 | 0,5

9. Je tire au hasard un échantillon de taille 100 dans une population de taille 1 Million dont la proportion de chômeurs est 0,1. Quelle est la loi du nombre X de chômeurs dans l'échantillon à utiliser pour faire le calcul de prob(X>20)?

   1. Uniforme (100)
   2. Géométrique (1/10)
   3. Hypergéométrique (1 000 000, 100, 1/10)
   4. Binomiale (100,1/10)
   5. Poisson (10)
   6. Normale (10, 3)

10. Le nombre d'erreurs de frappe par page (2000 signes) dans mon poly est en moyenne de 2.
    Quelle est la probabilité de faire au moins une erreur dans une phrase de 200 signes?

    1. 0,2
    2. 0,04
    3. 0,819
    4. 0, 181
    5. 0,1

11. J'ai une chance sur 3 d'atteindre un cible. Combien de fois je dois tirer pour avoir une probabilité >95% d'atteindre la cible

    1. 3 fois
    2. 5 fois
    3. 7 fois
    4. 8 fois
    5. 10 fois
    6. Jamais on n'atteindra 95%

12. Je tire au hasard n=10 pièces dans une population de N=50000 pièces dont une proportion p= 0,1 est défectueuse. La probabilité d'en avoir k défectueuses dans l'échantillon est (j'écris les combinaisons de k objets parmi n C(n,k)) et les puissances avec le signe ^) :

    1. C(Np, k)C(N(1-p,n-k) / C(n,N)
    2. C(n,k)[p^k][(1-p)^(n-k)]
    3. C(n,k)[(1-p)^k][p^(n-k)]
    4. [(np)^k][exp(-np)]/k!

13. Quelles sont les propriétés générales de la densité pour une variable continue.

    1. Elle est toujours positive
    2. Elle est toujours croissante
    3. Elle varie entre 0 et 1
    4. L'aire de la surface qui est sous la courbe est égale à 1
    5. Elle est toujours bornée
    6. Elle est toujours paire : f(-x) = f(x)

14. Que vaut prob (a<X<b) si X est une V.A. continue de densité f et de répartition F?

    1. Zéro
    2. F(b)-F(a)
    3. F(a)-F(b)
    4. F(x)
    5. f(a) (a-b)

15. Il y a une formule qui est fausse. Laquelle?

    1. V(X) = E(X²-E(X))
    2. V(X) = E(X²)-[E(X)]²
    3. V(X) = E(X-E(X))²
    4. V(X) = V(X+Y)-V(Y)-2COV(X,Y)
    5. V(X) = I (x²f(x)dx) -[I(xf(x)dx)]² où I veut dire "intégrale de"

16. Le théorème central limite dit que :

    1. Les fréquences convergent vers la probabilité lorsque la taille de l'échantillon s'accroit
    2. La loi binomiale B(n,p) converge vers la loi normale N(np, np(1-p)) lorsque n croit indéfiniment.
    3. La somme de n variables aléatoires X1, X2, ..., Xn converge vers une loi normale quand n augmente
    4. La somme de n variables aléatoires X1, X2, ..., Xn indépendantes de même loi, et ayant une variance finie, converge vers une loi normale quand n augmente
    5. La moyenne de n variables aléatoires X1, X2, ..., Xn a une variance qui tend vers zéro.

17. Si X suit N(0,1), que vaut prob (X<-1,2)

    1. 0
    2. 0,115
    3. 0,885
    4. 0,057

18. Si X suit une loi N(3,2), que vaut prob (2<X<4)

    1. 0,383
    2. 0,691
    3. 0,023
    4. 0,617

19. Une variable Y suit la loi du Chi-2 de paramètre n si :

    1. Elle est la somme de n variables normales
    2. Elle est le produit de n variables normales
    3. Elle est la somme des carrés de n variables normales
    4. Elle est la somme des carrés de n variables normales centrées-réduites et indépendantes.

20. La densité de la loi de Student

    1. est asymétrique
    2. est symétrique en cloche, toujours au dessus de celle de la loi N(0,1)
    3. est symétrique en cloche, toujours au dessous de celle de la loi N(0,1)
    4. est symétrique en cloche, plus applatie que celle de la loi N(0,1)
    5. est symétrique en cloche, moins applatie que celle de la loi N(0,1)