Cas simple
Une entreprise produit de l'acier, sa production physique est notée N, exprimée en tonnes ; la production maximum pour la structure actuelle est Nmax = 100.
Sa production totale en valeur (en euros, £, $, etc.) est, en fonction de la production physique :
PT = 100 N
son coût total en valeur est, en fonction de sa production physique :
CT = N2 + 900
Travail à effectuer
1/ Présenter littérairement d'abord, puis mathématiquement,
en valeur, les productions, coûts et bénéfices moyens et
marginaux, notés en indice M pour moyen et m pour marginaux (par exemple
BM sera le bénéfice moyen et Bm le bénéfice marginal).
Distinguer les coûts opérationnels et structurels.
Que déduire sur les liaisons entre l'activité, les prix unitaires
et les coûts unitaires ?
2/ Présenter littérairement d'abord, puis mathématiquement, les notions de seuils de rentabilité et de perte. Calculer les productions correspondantes.
3/ Présenter littérairement comment se définit la production physique (en tonnes) et en valeur optimum (BT maximum) ; en déduire l'analyse mathématique correspondante et calculer cet optimum.
4/ Calculer la production physique correspondant au BM maximum.
Pourquoi ce BM maximum correspond-il au CM minimum ? Pourquoi ce CM minimum
est il égal au Cm, en général et ici ?
Est-on à l'optimum ? Pourquoi ?
5/ Tracer, dans un premier plan, les fonctions (de N) de production et de coûts totaux en valeur ; dans un second plan, les fonctions (de N) de production et de coûts moyens et marginaux.
Calculer les valeurs pour les niveaux significatifs de N, de
N = 0 à Nmax=100.
Utiliser ces deux graphiques pour résumer clairement tous les résultats
de votre analyse.
Cas général : simulations avec des fonctions plus complexes. Paramètres des fonctions de production et de coûts, non linéaires
* Fonction de production totale : PT = aNb,
avec N le niveau d'activité
* Fonction de coût variable ou opérationnel total : CvT
= cNd
Le CvT est croissant à taux croissant (productivité
marginale décroissante) si d > 1 ; la dérivée de cette
fonction, le coût marginal, est alors croissante et la dérivée
seconde est positive. Si d < 1, la dérivée de cette fonction,
le coût marginal, est alors décroissante et la dérivée
seconde est négative ; ce qui correpond à des productivités
marginales croissantes.
Dans ce cas, avec le profit marginal nul, on aura bien un "extremum mathématique"
(max ou min), mais peut-être un maximum de pertes…
Le caractère positif ou négatif des dérivées secondes
est dit "conditions de second ordre" pour la maximisation du profit
total.
* Fonction de coût fixe, ou de structure, total : FT = f.
Travail à effectuer
Le même que pour le cas simple précédent.
