Données du problème

Nous avons relevé le taux d'équipement en magnétoscopes des ménages de la France depuis 1979 jusqu'en 1997.

Le graphique suivant présente l'évolution du taux d'équipement des ménages en magnétoscopes en fonction des années. Ce graphique peut suggérer une évolution selon un modèle de diffusion, nous serions alors à proximité du point d'inflexion.

Les données semblent correspondre à un modèle de type Gompertz ou logistique dont nous allons estimer les paramètres. Par analogie avec les États-Unis, on pense que le taux d'équipement maximum est de 800 pour 1000.

Modèle de Gompertz

Pour procéder à l'estimation des paramètres avec   = 800, nous allons linéariser la fonction :

Soit à calculer la nouvelle variable à expliquer :

Les résultats de l'estimation de la régression sur le temps (t = 1, 2, …, 19) sont les suivants :

Yt = 1,27 - 0,139t
R² = 0,99

Soit le modèle :

En effet :

Modèle Logistique

Pour procéder à l'estimation des paramètres avec  = 800, nous allons linéariser la fonction :

Soit à calculer la nouvelle variable à expliquer :

Les résultats de l'estimation de la régression sur le temps (t = 1, 2, …, 19) sont les suivants :

Yt = 2,78 - 0,224t
R² = 0,99

La qualité statistique du modèle est bonne, le modèle estimé est le suivant :

En effet :

Résolution analytique

La résolution analytique à l'aide du "Solveur" donne les résultats suivants :

Pour le modèle de Gompertz

Le seuil de saturation est donc de e^6,83 = 927 (avec somme des carrés des écarts = 24,09).

Pour le modèle Logistique

Le seuil de saturation est donc de 718 (avec somme des carrés des écarts = 698,50).

Conclusion pour cet exemple

La spécification du modèle de Gompertz est préférable car la somme des carrés des écarts est largement plus faible.

L'exemple que nous venons de développer indique les limites de l'utilisation des courbes de vie :

• une spécification rigide, totalement déterministe,
• un choix de modèle qui influe sur les résultats.

Cependant l'intérêt de cette approche réside dans l'essai de déterminer des ruptures dans la vie d'un produit et ainsi d'en tirer des conséquences en terme d'action. De plus, dans le cadre de lancement de produits nouveaux, il est parfois intéressant de mener des analyses comparatives des paramètres de courbe de vie avec des produits lancés antérieurement. Elles permettent d'apprécier plus rapidement le potentiel du nouveau produit.