Les modèles de courbe de vie du produit

Les modèles de courbe de vie (et les modèles de diffusion) sont extrêmement nombreux et font l'objet d'une littérature abondante. Nous pouvons distinguer trois générations de modèles :

• la première génération : ce sont les modèles les plus connus. Ils tentent de déterminer l'évolution probable des ventes connaissant le seuil de saturation. Il s'agit du modèle de Gompertz et du modèle logistique qui sont examinés en détail par la suite.
• la deuxième génération modélise simultanément le marché total, le marché potentiel et les ventes à l'instant t. La formulation devient alors plus complexe, nous pouvons citer dans cette catégorie le modèle de Chow, celui de Lackman et celui de Mahajan-Peterson.
• la troisième génération ne postule plus la constance du marché total.

Nous allons examiner deux des principaux modèles de courbe de vie.

Le modèle de Gompertz

La formulation de ce modèle est la suivante :

 ou encore

Log yt = a + b r^t avec 0 < r < 1
Log yt = logarithme népérien des ventes à l'instant t
a, b, r sont les paramètres du modèle.

Nous pouvons remarquer les propriétés suivantes :

si     alors    0  si  b < 0,
si     alors    ,  (e est la base du logarithme népérien).

Il s'agit donc d'une courbe dont l'évolution est en "S", c'est-à-dire qu'elle croît de manière rapide puis ralentit après un point d'inflexion. Il s'agit de l'évolution typique des ventes d'un bien : les ventes sont nulles au début (t = 0) puis connaissent une saturation (). Le paramètre r va rendre compte de la vitesse du processus : plus r est faible, plus vite le seuil de saturation sera atteint. Le paramètre a est caractéristique du seuil de saturation (seuil =   , e est la base du logarithme népérien). Enfin le paramètre b est lié à l'origine. Le point d'inflexion de la courbe est fixe, il est atteint lorsque les ventes cumulées représentent 36,8 % du seuil de saturation  .

Le modèle Logistique

Il s'exprime de la manière suivante :

avec :

  = seuil de saturation,
a et r deux paramètres caractéristiques du modèle (-1 < r < 0).

Les propriétés sont les suivantes :

si      alors    0,
si      alors   .

Le point d'inflexion de la courbe est fixe, il est atteint lorsque les ventes cumulées représentent 50 % du seuil de saturation  .